Question

已知雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，點P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，過點P作斜率為

2

2

的直線與雙曲線交于A，B兩點，與y軸交于點M，|PM|是|PA|與|PB|的等比中項，則雙曲線的半焦距為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用點P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，可求雙曲線G的漸近線的方程；利用漸近線設(shè)出雙曲線G的方程，把直線l的方程與雙曲線G的方程聯(lián)立求出A，B兩點的坐標之間的關(guān)系式，再利用|PA|•|PB|=|PM|²．即可求出雙曲線G的方程，從而可得雙曲線的半焦距．

解答： 解：設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
因為點P（-2，0）到其漸近線的距離為

2 6

3

，
所以

|2k|

k2+1

=

2 6

3

，
所以k=±

2

，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±

2

x．
設(shè)雙曲線G的方程為2x²-y²=m，
把直線l的方程y=

2

2

（x+2）代入雙曲線方程，
整理得3x²-4x-4-2m=0，
則x_A+x_B=

4

3

，x_Ax_B=-

4+2m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PM|²，P、A、B、M共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_M）²，即（x_B+2）（-2-x_A）=4，
整理得2（x_A+x_B）+x_Ax_B+8=0．
將（*）代入上式得m=14，
∴雙曲線的方程中a²=7，b²=14，
∴c²=21，∴c=

21

．
故答案為：

21

．

點評：本題涉及到雙曲線標準方程的求法問題．因為雙曲線的標準方程有兩種形式，所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點所在位置．