Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；

（2）若f(x)有兩個極值點證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后對實數(shù)進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號變化可得出結(jié)論；

（2）由（1）知，并且、是關(guān)于的二次方程的兩根，利用韋達定理得出，，令，利用導(dǎo)數(shù)證明出不等式對任意的恒成立即可.

（1）因為定義域為，

所以.

（ⅰ）當時，，由得

當時，，當時，，

所以是函數(shù)的一個極值點；

（ⅱ）當時，.

①若，即當時，，

此時，函數(shù)在是減函數(shù)，函數(shù)無極值點，

若，即時，

方程有兩根、，，，

，，不妨設(shè)，

當和時，，時，，

、是函數(shù)的兩個極值點.

綜上所述時，函數(shù)有一個極值點；

當時，函數(shù)無極值點；

當時，函數(shù)有兩個極值點；

（2）由（1）可知當且僅當時，函數(shù)有極小值點和極大值點，

且、是方程的兩個正根，則，，

令，則

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，

故．