【題目】設(shè),函數(shù),函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的零點個數(shù);
(2)若函數(shù)與函數(shù)的圖象分別位于直線的兩側(cè),求的取值集合;
(3)對于,,求的最小值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)當n=1時,f(x)=,f′(x)=(x>0),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù);
(2)若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象分別位于直線y=1的兩側(cè),n∈N*,函數(shù)f(x)有最大值f()=<1,即f(x)在直線l:y=1的上方,可得g(n)=>1求n的取值集合A;
(3)x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣g(x2)|的最小值等價于,發(fā)布網(wǎng)球場相應(yīng)的函數(shù)值,比較大小,即可求|f(x1)﹣g(x2)|的最小值.
(1)當時,,.
由得;由得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
因為,,
所以函數(shù)在上存在一個零點;
當時,恒成立,
所以函數(shù)在上不存在零點.
綜上得函數(shù)在上存在唯一一個零點.
(2)由函數(shù)求導(dǎo),得,
由,得;由,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
則當時,函數(shù)有最大值;
由函數(shù)求導(dǎo),得,
由得;由得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
則當時,函數(shù)有最小值;
因為,函數(shù)的最大值,
即函數(shù)在直線的下方,
故函數(shù)在直線:的上方,
所以,解得.
所以的取值集合為.
(3)對,的最小值等價于,
當時,;
當時,;
因為,
所以的最小值為.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在距離為的兩條直線和,使得對任意的都有,則稱函數(shù)有一個寬為的通道.給出下列函數(shù):①;②;③;④.其中在區(qū)間上通道寬度為1的函數(shù)由__________ (寫出所有正確的序號).
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【題目】已知復(fù)數(shù)z=bi(b∈R),是純虛數(shù),i是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)(m+z)2所表示的點在第二象限,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】( 本小題滿分14)
如圖,在三棱錐P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分別是AB,PB的中點.
(1)求證:DE∥平面PAC
(2)求證:AB⊥PB
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【題目】為普及學(xué)生安全逃生知識與安全防護能力,某學(xué)校高一年級舉辦了安全知識與安全逃生能力競賽,該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段,預(yù)賽為筆試,決賽為技能比賽,現(xiàn)將所有參賽選手參加筆試的成績(得分均為整數(shù),滿分為分)進行統(tǒng)計,制成如下頻率分布表.
分數(shù)(分數(shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
合計 |
(1)求表中,,,,的值;
(2)按規(guī)定,預(yù)賽成績不低于分的選手參加決賽.已知高一(2)班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格,記高一(2)班在決賽中進入前三名的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,且DE=,平面ABCD⊥平面ADE,∠ADE=30°
(1)求證:AE⊥平面CDE;
(2)求AB與平面BCE所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,則當時,函數(shù)的圖象是否總在直線上方?請寫出判斷過程.
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【題目】某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池,其容積為4 800立方米,深度為3米.池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元.設(shè)池底長方形長為x米.
(1)求底面積,并用含x的表達式表示池壁面積;
(2)怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?
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