Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-）-2lnx，g（x）=x²．
（I）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在其一公共點(diǎn)處存在公切線，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)f（x）與g（x）的共切線，然后證明等式．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為=．
要使函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，f'（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即在（0，+∞）上恒成立．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125949669605497/SYS201310251259496696054020_DA/3.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，所以a≥1．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為=，
g'（x）=2x，令，
即2x³-ax²+2x-a=0，所以x²（2x-a）+2x-a=0，即（x²+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=．
因?yàn)閒（x）=a（x-）-2lnx，
則，
對(duì)于g（x）=x²．則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125949669605497/SYS201310251259496696054020_DA/11.png">，所以，即．
所以，
即，
解得，
所以，成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．