【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣axlnx.

(1)當(dāng)a=1時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程;

(2)證明:對于a∈(0,e),函數(shù)f(x)在區(qū)間()上單調(diào)遞增.

【答案】(1); (2)見解析.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線斜率k=f′(1),切點(1,f(1)),由點斜式可得切線方程;

(2)求導(dǎo),通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號證明函數(shù)的單調(diào)性即可.

(1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex﹣xlnx(x>0)

∴f′(x)=ex﹣lnx﹣1,

∴f′(1)=e﹣1,

∵f(1)=e,

曲線f(x)在x=1處的切線方程為y﹣e=(e﹣1),即y=(e﹣1)x+1

(2)∵f(x)=ex﹣axlnx,a∈(0,e),x∈(,1),

∴f′(x)=ex﹣a(1+lnx),

當(dāng)1+lnx≤0時,f′(x)0恒成立,f(x)在(,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)1+lnx>0即1≤a<e時,令g(x)=

∴g′(x)==,

令h(x)=lnx﹣+1,x∈(,1),

顯然h(x)在(,1)上單調(diào)遞增,且h(1)=0,

∴h(x)<0在x∈(,1)上恒成立,∴g′(x)<0在x∈(,1)上恒成立,

故g(x)在(,1)上單調(diào)遞減,

又g(1)=e,∴g(x)>g(1)=e在x∈(,1)上恒成立,

又1≤a<e,∴a<g(x)=

∴ex﹣a(1+lnx)>0,

所以f(x)在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞增.

綜上可知,對a∈(0,e),函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞增.

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