13.當x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$]時,y=3-2sinx-2cos2x的最小值為$\frac{1}{2}$.

分析 由三角函數(shù)知識化簡可得y=2(sinx-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{2}$,令sinx=t,則t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],研究二次函數(shù)y=2(t-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{2}$
的單調(diào)性和最值即可.

解答 解:化簡可得y=3-2sinx-2cos2x
=3-2sinx-2(1-sin2x)
=2sin2x-2sinx+1
=2(sinx-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{2}$,
令sinx=t,則t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
由二次函數(shù)可知y=2(t-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{2}$
在t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減,在t∈[$\frac{1}{2}$,1]單調(diào)遞增,
∴當t=$\frac{1}{2}$時,取到最小值$\frac{1}{2}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值,換元是解決問題的關鍵,屬中檔題.

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