Question

13．當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，y=3-2sinx-2cos²x的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)知識(shí)化簡(jiǎn)可得y=2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，令sinx=t，則t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，研究二次函數(shù)y=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
的單調(diào)性和最值即可．

解答 解：化簡(jiǎn)可得y=3-2sinx-2cos²x
=3-2sinx-2（1-sin²x）
=2sin²x-2sinx+1
=2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
令sinx=t，則t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
由二次函數(shù)可知y=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
在t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，取到最小值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．