Question

5．設函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若a=1，求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求出f（x）的導函數f′（x），令f′（x）＞0，得出函數f（x）的單調增區(qū)間，反之得出單調減區(qū)間；
（2）求出函數f（x）的導函數，得出$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，求出a和b．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x+b，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=3x²-3＞0，則x＞1或x＜-1；
f′（x）=3x²-3＜0，則-1＜x＜1．
∴函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（-1，1）
（2）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$
解之，得a=4，b=24．

點評 本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及單調區(qū)間的求法，考查了運算能力，屬于基礎題．