Question

2．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是A₁B₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐A₁-AB₁D₁體積；
（2）求異面直線DB₁與EF所成的角．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}×A{A}_{1}}$，即可得出．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$，即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}×A{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$=$\frac{4}{3}$．
（2）D（0，0，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（2，1，2），F(xiàn)（1，2，2）．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=-2+2+0=0．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{EF}$，
∴異面直線DB₁與EF所成的角為90°．

點(diǎn)評 本題考查了三棱錐的體積計(jì)算公式、異面直線所成的夾角、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．