Question

已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)，且滿足、、
成等差數(shù)列.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若曲線的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，
求直線被曲線截得的線段長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

（1）：（2）.

試題分析：（1）利用題中的條件得到橢圓的定義，求出橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距，然后利用、、之間的關(guān)
系求出的值，從而確定點(diǎn)的軌跡的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，利用直線與圓
相切，結(jié)合確定和之間的等量關(guān)系，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)
間的距離公式求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，利用換元法將弦長(zhǎng)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并利用函數(shù)單調(diào)性求出弦長(zhǎng)的最小
值.
（1）由、，  ，
根據(jù)橢圓定義知的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，
其長(zhǎng)軸，焦距，短半軸，故的方程為.
（2）過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線不與圓相切，故可設(shè):，
由直線與曲線相切得，化簡(jiǎn)得，，
由，解得，
聯(lián)立，消去整理得，
直線被曲線截得的線段一端點(diǎn)為，設(shè)另一端點(diǎn)為，
解方程可得，
有，
令，則，，
考查函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以時(shí)，取最大值，從而.