Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-1，（x＞0）}\\{-{x}^{3}+1，（x≤0）}\end{array}\right.$，
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（II）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意的x∈R恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)已知中分段函數(shù)的解析式，可得函數(shù)f（x）的最小值；
（II）若“p或q”為真，“p且q”為假，則p，q一真一假，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-1，（x＞0）}\\{-{x}^{3}+1，（x≤0）}\end{array}\right.$，
若x＞0，由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
可得：當x=1時，函數(shù)取最小值1，
若x≤0，此時函數(shù)為減函數(shù)，
當x=0時，函數(shù)取最小值1，
綜上可得：函數(shù)f（x）的最小值為1…（4分）
（Ⅱ）由（I）得m²+2m-2≤1對任意x∈R恒成立
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
∴命題p：-3≤m≤1…（6分）
命題q：指數(shù)函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，
∴m²-1＞1，
∴命題q：m＜-$\sqrt{2}$，或m＞$\sqrt{2}$…（8分）
若“p或q”為真，“p且q”為假，
則p，q一真一假，
分兩種情況：
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}-3≤m≤1\\-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{2}$≤m≤1…（10分）
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}m＜-3，或m＞1\\ m＜-\sqrt{2}，或m＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得m＜-3，或m＞$\sqrt{2}$
所以實數(shù)m的取值范圍為m＜-3，或-$\sqrt{2}$≤m≤1，或m＞$\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數(shù)恒成立等知識點，難度中檔．