Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A（0，4）作與拋物線的對稱軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B，且4|BF|=5|AB|．
（1）求拋物線上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的最短距離；
（2）是否存在過點(diǎn)A的直線l，直線l交拋物線于C，D兩點(diǎn)，且使得BC⊥BD，若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將B（m，4）代入拋物線方程可知m=$\frac{8}{p}$，利用4|BF|=5|AB|及拋物線定義可知p=4，進(jìn)而可知拋物線方程為y²=8x，通過設(shè)與直線x-y+3=0平行且與拋物線相切的直線方程為x-y+t=0并與拋物線方程聯(lián)立，利用根的判別式為0、兩條平行線之間的距離公式計算即得結(jié)論；
（2）通過C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），設(shè)存在滿足題意的直線l的方程為y=kx+4并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，通過$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BD}=0$化簡計算可知k=-$\frac{4}{5}$，整理即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，B（m，4），代入拋物線方程，
得：16=2pm，即m=$\frac{8}{p}$，
∵4|BF|=5|AB|，
∴$\frac{p}{2}$=|BF|-|AB|=（$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$）$\frac{8}{p}$，
解得：p=4或p=-4（舍），
從而拋物線方程為：y²=8x，
設(shè)與直線x-y+3=0平行且與拋物線相切的直線方程為：x-y+t=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：y²-8y+8t=0，
令△=64-32t=0，得t=2，
于是所求值為$\frac{3-2}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）結(jié)論：存在滿足條件的直線l方程y=-$\frac{4}{5}$x+4．
理由如下：
設(shè)存在滿足題意的直線l的方程為：y=kx+4，
聯(lián)立直線l與拋物線方程，整理得：k²x²+8（k-1）x+16=0，
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，
∵BC⊥BD，B（2，4），
∴（x₁-2，y₁-4）•（x₂-2，y₂-4）=0，
整理得：（k²+1）x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
即（k²+1）•$\frac{16}{{k}^{2}}$+2•$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$+4=0，
化簡得：5k²+4k=0，
解得：k=-$\frac{4}{5}$或k=0（舍），
故直線l方程為：y=-$\frac{4}{5}$x+4．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．