Question

（本小題滿分14分）如圖，一簡單幾何體有五個頂點、、、、，它的一個面內接于⊙，是⊙的直徑，四邊形為平行四邊形，平面．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，，求該簡單幾何體的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）1.

【解析】第一問要證明面面垂直，關鍵是證明線面垂直，借助于面面垂直的判定定理得到結論即可即證平面 

第二問中，將該幾何體的體積分解為兩個三棱錐的體積即可。注意合理分解為兩個特殊幾何體的體積是解決該試題的關鍵。

解: (1)證明:平面,平面,

.                       ………1分

是⊙的直徑,,    ………2分

又                    ………3分

平面,                  ………4分

平面                  ………5分

又平面                  ………6分

平面平面.                                 ………7分

 (2)設所求簡單幾何體的體積為,

  平面

平面

平面

                                  

在中

 

                       ………8分

方法一: 連,由(1),(2)知是三棱錐的高,是三棱錐的高

                                       ………9分

              ………11分

                 ………13分

該簡單組合體的體積.                              ………14分

方法二:

平面,平面,

.                      

又由(1)知,   

又                   

平面,

 是四棱錐的高,且由(1),(2)證明易知四邊形為邊長為的正方形.                                               ………10分

                                    ………11分

                                   ………12分

 

                               ………13分

                                              ………14分