8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右頂點(diǎn)為A，漸近線為l1，l2，點(diǎn)P為雙曲線C的動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)P作l1的平行線交l2于M，直線AP交l2于N，則|MN|=（　�。�
A．$\frac{3}{2}$B．2C．$\frac{5}{2}$D．5

分析 求出雙曲線的右頂點(diǎn)和漸近線方程，由兩直線平行的條件可得l1的平行線，聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)M，N，再由$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x1-x2|，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右頂點(diǎn)為（4，0），
漸近線方程為l1：y=$\frac{3}{4}$x，l2：y=-$\frac{3}{4}$x，
設(shè)P（m，n），即有9m2-16n2=144，
過點(diǎn)P作l1的平行線為y=$\frac{3}{4}$（x-m）+n，
聯(lián)立直線l2的方程，可得M（$\frac{3m-4n}{6}$，-$\frac{3m-4n}{8}$），
由直線AP的方程y=$\frac{n}{m-4}$（x-4），
聯(lián)立直線l2的方程，可得N（$\frac{16n}{4n+3m-12}$，-$\frac{12n}{4n+3m-12}$），
即有|MN|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•|$\frac{3m-4n}{6}$-$\frac{16n}{4n+3m-12}$|
=$\frac{5}{4}$•|$\frac{9{m}^{2}-16{n}^{2}-36m-48n}{6（4n+3m-12）}$|
=$\frac{5}{4}$•|$\frac{12（12-3m-4n）}{6（4n+3m-12）}$|=$\frac{5}{4}$•2=$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查兩直線的交點(diǎn)的求法，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期為π，f（0）=$\sqrt{2}$，則（　�。�
A．f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$單調(diào)遞增B．f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$單調(diào)遞減
C．f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞增D．f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知sin（α+$\frac{π}{6}$）+cosα=$\frac{4}{5}$$\sqrt{3}$，則cos（2α+$\frac{2π}{3}$）的值為（　�。�
A．-$\frac{7}{25}$B．$\frac{7}{25}$C．$\frac{9}{25}$D．-$\frac{9}{25}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\sqrt{x}$，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，
（1）求集合A；
（2）若函數(shù)g（x）的值域?yàn)榧螧，求A∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．設(shè)F（-c，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過F作直線l與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)A、B，其中B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{c}{2}$，若$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，且λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，則雙曲線的離心率e的取值范圍是[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1的左焦點(diǎn)重合，則拋物線方程為y2=-8x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與橢圓右側(cè)（如圖）相交于M，N兩點(diǎn)，直線F1M，F(xiàn)1N分別與直線x=4相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．設(shè)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y=$\frac{3}{2}$x，兩焦點(diǎn)間距離為2$\sqrt{13}$，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|=3，則|PF2|=7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖（如圖）．
（1）體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”，已知該校高一年級有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全校中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；
（2）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動情況，現(xiàn)從體積成績在[60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績在[60，70）的概率；
（3）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70，80），[80，90），[90，100]三組中，其中a，b，c∈N，當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時(shí)，寫出a，b，c的值．（結(jié)論不要求證明）
（注：s2=$\frac{1}{n}$[（x${\;}_{1}+\overline{x}$）2+（x2-$\overline{x}$）2+…+（x${\;}_{n}-\overline{x}$）2]，其中$\overline{x}$為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)）

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