Question

3．設(shè)F（-c，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過F作直線l與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)A、B，其中B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{c}{2}$，若$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，且λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，則雙曲線的離心率e的取值范圍是[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 將x=$\frac{c}{2}$代入雙曲線的方程，可得B的坐標(biāo)，求得直線AB的斜率k，直線AB的方程為y=k（x+c），代入雙曲線的方程運(yùn)用韋達(dá)定理，求得A的橫坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，根據(jù)λ的范圍解不等式求得e的范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率e=$\frac{c}{a}$，
將x=$\frac{c}{2}$代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，
設(shè)B（$\frac{c}{2}$，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
可得直線AB的斜率為k=$\frac{2b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{3c}$，①
由直線AB的方程為y=k（x+c），代入雙曲線的方程，可得
（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²k²c²-a²b²=0，
可得$\frac{c}{2}$•x_A=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-^{2}}$，
代入①可得，x_A=$\frac{{c}^{3}+5{a}^{2}c}{-2{a}^{2}-4{c}^{2}}$，
由$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，可得x_A+c=λ（$\frac{c}{2}$-x_A），
即有λ=$\frac{{x}_{A}+c}{\frac{c}{2}-{x}_{A}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{c}^{2}+2{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+2}$，
λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，可得$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+2}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
即1-$\frac{3}{{e}^{2}+2}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
解得e²∈[7，10]，
即e∈[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．
故答案為：[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、向量共線的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．