Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F₂的直線與橢圓右側(cè)（如圖）相交于M，N兩點(diǎn)，直線F₁M，F(xiàn)₁N分別與直線x=4相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△F₂PQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=ty+1，（-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{\sqrt{3}}{3}$），代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線方程、弦長公式、函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知能求出△F₂PQ面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=ty+1，（-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{\sqrt{3}}{3}$），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，化簡，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
則直線F₁M：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}（x+1）$，令x=4，得P（4，$\frac{5{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$），同理，Q（4，$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$），
∴${S}_{△{F}_{2}PQ}$=$\frac{15}{2}×$|$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$|=15×|$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{（t{y}_{1}+2）（t{y}_{2}+2）}$|=90×|$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{16-9{t}^{2}}$|，
令μ=$\sqrt{{t}^{2}+1}$∈[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），則${S}_{△{F}_{2}PQ}$=90×$\frac{μ}{25-9{μ}^{2}}$，
∵y=$\frac{x}{25-9{x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{x}-9x}$在[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)μ=1時(shí)，即t=0時(shí)，（${S}_{△{F}_{2}PQ}$）_min=$\frac{45}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、直線方程、弦長公式、函數(shù)單調(diào)性、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．