Question

已知f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=（4x+

1

x

）lna（x＞0）其中a是常數(shù)．若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為A，且函數(shù)g（x）在區(qū)間A上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a=1，當(dāng)0＜a＜

1

2

，當(dāng)

1

2

＜a＜1，當(dāng)a＞1時(shí)，解不等式f′（x）≤0，得減區(qū)間A，再由g′（x）≤0在A上恒成立，求得a的范圍，再求并集即可．

解答： 解：f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

，
g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=4lna-

lna

x2

，
令f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

≤0，g′（x）=4lna-

lna

x2

≤0，
∵x＞0，
則不等式組化為x+

4

x

≤4a+

1

a

，lna•（4x²-1）≤0，
∵4a+

1

a

≥x+

4

x

≥4，
∴a＞0
（1）當(dāng)a=1，g'（x）=0，g（x）是常數(shù)函數(shù)，不符合單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)0＜a＜

1

2

，lna＜0，
x+

4

x

≤4a+

1

a

解得4a≤x≤

1

a

，
由g′（x）≤0在[4a，

1

a

]恒成立，
則4x²≥1在[4a，

1

a

]上恒成立，即4•（4a）²≥1，
解得a≥

1

8

．
則有

1

8

≤a＜

1

2

；
（3）

1

2

＜a＜1，lna＜0，
f′（x）≤0的解集為[

1

a

，4a]，
則4x²≥1在[

1

a

，4a]上恒成立，即4•（

1

a

）²≥1，成立．
即有

1

2

＜a＜1；
（4）當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，
f′（x）≤0的解集為[

1

a

，4a]，
則4x²≤1在[

1

a

，4a]上恒成立，即4•（4a）²≤1，
解得a≤

1

8

．
則a＞1不成立．
綜上所述，

1

8

≤a＜

1

2

或

1

2

＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．