Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

8

-lnx，x∈[1，3]
（Ⅰ）求f（x）的最大值與最小值
（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4-at恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）只需要求出函數(shù)在該區(qū)間上的極值、端點(diǎn)值，然后即可比較得到函數(shù)的最值；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜（4-at）_min即可，然后借助于導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性研究最．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

x2

8

-lnx，
所以f′(x)=

x

4

-

1

x

，令f′（x）=0得x=±2．
因?yàn)閤∈[1，3]，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增．
所以f(x)極小=f(2)=

1

2

-ln2．
又f（1）=

1

8

，f(3)=

9

8

-ln3，且f（1）-f（3）=ln3-1＞0．
所以f（1）＞f（3）．所以x=1時(shí)，f（x）_max=

1

8

，f（x）_min=f（2）=

1

2

-ln2．
（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f(x)≤

1

8

，
故對(duì)任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4-at恒成立，
只需對(duì)于t∈[0，2]，有

1

8

＜4-at恒成立，即at＜

31

8

恒成立．
令g（t）=at，t∈[0，2]．
所以

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，解得a＜

31

16

．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

31

16

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題以及不等式恒成立問(wèn)題的基本思路，屬于常規(guī)題，難度不大．