Question

我校同學(xué)設(shè)計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案”（陰影區(qū)域）來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)目的成功舉辦，其中AC，BD是過拋物線C的焦點F的兩條弦，且F（0，1），

AC

•

BD

=0，點E為y軸上一點，記∠EFA=a，其中a為銳角．
（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)“蝴蝶形圖案”的面積最小時，求a的大�。�

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線的焦點坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意結(jié)合圖形，把A、B、C、D四點的坐標(biāo)分別用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入拋物線方程后最終求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，對三角形面積化簡整理，換元后利用配方法求面積的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得拋物線方程為：x²=4y．
（2）解：①由拋物線Γ焦點F（0，1）得，拋物線Γ方程為x²=4y；
②設(shè)AF=m，則點A（-msinα，mcosα+1），
∴（-msinα）²=4（1+mcosα），即m²sin²α-4mcosα-4=0．
解得：m=

2(cosα±1)

sin2α

，
∵m＞0，∴|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．
同理：|BF|=

2(1-sinα)

cos2α

，|DF|=

2(1+sinα)

cos2α

，|CF|=

2(1-cosα)

sin2α

．．
“蝴蝶形圖案”的面積S=S_△AFB+S_△CFD=

4-4sinαcosα

(sinαcosα)2

，令t=sinαcosα，t∈(0，

1

2

]，

1

t

∈[2，+∞)．
則S=4•

1-t

t2

=4(

1

t

-

1

2

)2-1，
∴當(dāng)

1

t

=2時，即α=

π

4

時“蝴蝶形圖案”的面積最小為8．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點直線與拋物線的關(guān)系、三角函數(shù)化簡、換元法、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．