Question

求證：當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2]上單調(diào)遞增，g（x）=x-a

x

在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 證明：當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-2

1

x

=2（x-

1

x

）；
∵x∈（1，2]，∴x-

1

x

＞0；
∴f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2]上單調(diào)遞增；
g（x）=x-2

x

，g′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），∴1-

1

x

＜0，
即g′（x）＜0；
故g（x）=x-a

x

在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)對單調(diào)性的判斷的應(yīng)用，屬于中檔題．