Question

若f（x）=1-2a-2acosx-sin²x的最小值為g（a）．
（1）求g（a）的表達式；
（2）求使g（a）=1的a的值，并求當(dāng)a取此值時f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式及二次函數(shù)的配方法可得f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得g（a）的表達式；
（2）依題意，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三類討論，由g（a）=1，可求得a≤-1，從而可求得當(dāng)a取此范圍內(nèi)的值時f（x）的最大值．

解答： 解：（1）由f（x）=1-2a-2acosx-sin²x
=1-2a-2acosx-（1-cos²x）
=cos²x-2acosx-2a
=（cosx-a）²-a²-2a．這里-1≤cosx≤1．
①若-1≤a≤1時，則當(dāng)cosx=a時，f（x）_min=-a²-2a；
②若a＞1，則當(dāng)cosx=1時，f（x）_min=1-4a；
③若a＜-1，則當(dāng)cosx=-1時，f（x）_min=1．
因此gg（aa）=

1，a＜-1 -a2-2a，-1≤a≤1 1-4a，a＞1

；
（2）∵g（a）=1．
∴①若a＞1，則有1-4a=1，得a=0，矛盾；
②若-1≤a≤1，則有-a²-2a=1，即aa²+2a+1=0，∴a=-1．
③若a＜-1，g（a）=1，恒成立
∴g（a）=1時，a≤-1，此時f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，
當(dāng)cosx=1時，f（x）取得最大值為1-4a．

點評：本題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式及二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，突出考察分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于難題．