Question

3．已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率為$\frac{1}{2}$，且它的短軸端點恰好是雙曲線$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）如圖，已知直線x=2與橢圓C相交于兩點P，Q，點A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點，且總滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，請求出此定值．若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓C的方程，利用離心率為$\frac{1}{2}$，且它的短軸端點恰好是雙曲線$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦點，求出幾何量，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程代入橢圓方程，確定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．

解答 解：（I）設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意知，雙曲線$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦點為$（0，±2\sqrt{3}）$，所以可得b=2$\sqrt{3}$；
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．…（5分）
（II）由（I）易求得P（2，3），Q（2，-3），
因為∠APQ=∠BPQ，所以直線PA，PB的傾斜角互補，從而直線PA、PB的斜率之和為0，…（7分）
設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-3=k（x-2）
代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+2=$\frac{8（2k-3）k}{3+4{k}^{2}}$，
同理x₂+2=$\frac{8（2k+3）k}{3+4{k}^{2}}$
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．