Question

5．在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點．M為AD與BE的交點，求證：點M分別將線段AD，BE分成2：1的兩部分．（要求用向量方法．）

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=y\overrightarrow{BE}$，由已知條件利用平面向量基本定理得x=y=$\frac{2}{3}$，由此能證明點M分別將線段AD，BE分成2：1的兩部分．

解答 解：如圖，設$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=y\overrightarrow{BE}$，
∵D是BC的中點，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，∴$\overrightarrow{AM}=\frac{x}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{2}\overrightarrow{AC}$，
又E為AC的中點，∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+y（-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=（1-y）$\overrightarrow{AB}+\frac{y}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，由平面向量基本定理得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=1-y}\\{\frac{x}{2}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$，即$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{ME}$，
∴點M分別將線段AD，BE分成2：1的兩部分．

點評 本題考查點分別將兩線段分成2：1的兩部分的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法和平面向量基本定理的合理運用．