Question

高一某個研究性學習小組進行市場調查，某生活用品在過去100天的銷售量和價格均為時間t的函數，且銷售量近似地滿足g（t）=-t+110（1≤t≤100），t∈N．前40天的價格為f（t）=t+8（1≤t≤40），后60天的價格為f（t）=-0.5t+69（41≤t≤100）．
（1）試寫出該種生活用品的日銷售額S與時間t的函數關系式；
（2）試問在過去100天中是否存在最高銷售額，是哪天？

Answer 1

分析：（1）利用S=g（t）•f（t），即可得到函數解析式；
（2）利用配方法，結合函數的單調性，分段求最值，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，S=g（t）•f（t）=

(-t+110)(t+8)，1≤t≤40 (-t+110)(0.5t+69)，(41≤t≤100)

=

-t2+102t+880，1≤t≤40 0.5t2-124t+7590，41≤t≤100

（2）當1≤t≤40時，S=-t²+102t+880=-（t-51）²+880+51²，
在[1，40]上為增函數，∴當t=40時，S_max=-40²+102×40+880=3360；
當41≤t≤100時，S=0.5t²-124t+7 590=0.5（t-124）²+7590-

1

2

×124²，
在[41，100]上函數為減函數，
∴t=41時，S_max=41²×0.5-124×41+7 590=3346.5．
∴在過去100天中第40天的銷售額最高，最高值為3360元．

點評：本題考查函數模型的建立，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．