Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cos（x+$\frac{5π}{12}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為$f（x）=sin（2x+\frac{2π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可解得f（x）的遞增區(qū)間．
（2）由$f（C）=sin（2C+\frac{2π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$2C+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，可得C的值，由題意可得sinB-2sinA=0，由正弦定理得b=2a，分別由余弦定理，勾股定理即可解得a，b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=2cos（x+\frac{5π}{12}）sin（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$
=2cos（x+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$
=-2[sin（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{3}$]sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
∴2k$π-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{2π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得解得：k$π-\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}}]$，k∈Z．
（2）∵$f（C）=sin（2C+\frac{2π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$2C+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，解得$C=\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$．
∵$\overrightarrow m=（1，sinA）$與$\overrightarrow n=（2，sinB）$共線，
∴sinB-2sinA=0，
∴由正弦定理可得$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$，即b=2a，①
當(dāng)$C=\frac{π}{3}$時(shí)，
∵C=3，∴由余弦定理可得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，②
聯(lián)立①②解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
當(dāng)$C=\frac{π}{2}$時(shí)，
∵c=3，∴由勾股定理可得9=a²+b²，③
聯(lián)立①③可得$a=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，$b=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
綜上$a=\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}$，或$a=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，$b=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，勾股定理，平面向量共線的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．