Question

【題目】在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，平面⊥平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，平面平面即得證；

（2）由于，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：分別取，的中點(diǎn)和，連接，，，.

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面.

所以平面，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn).

所以，且，

因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)所以，且，

所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則.

因?yàn)?/span>平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由題意得，則平面，故，，兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

故，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，得.

設(shè)平面的法向量為，

則令，得，

則，

由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.