Question

17．已知A（x_A，y_A）是單位圓（圓心為坐標原點O，半徑為1）上任一點，將射線OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$到OB交單位圓于點B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值為2，則實數(shù)m的值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設A（cosα，sinα），則B[cos（α+$\frac{π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{6}$）]，則my_A-2y_B=msinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$sin（α+θ），繼而得到$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$=2，解得即可．

解答 解：因為A（x_A，y_A）是單位圓（圓心為坐標極點O，半徑為1）上任一點，
∴設A（cosα，sinα），則B[cos（α+$\frac{π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{6}$）]，
即y_A=sinα，y_B=sin（α+$\frac{π}{6}$），
則my_A-2y_B=msinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）
=msinα-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）
=（m-$\sqrt{3}$）sinα-cosα
=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$sin（α+θ），
∵m＞0，my_A-2y_B的最大值為2，
∴$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$=2，解得m=2$\sqrt{3}$．
故答案為$2\sqrt{3}$

點評 本題考查實數(shù)值的求法，解題時要注意單位圓、三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題