Question

7．已知公比小于1的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{2}{3}$且10a₂-3a₁=3a₃（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）設b_n=log₃（1-S_n+1），若$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}b3}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$，求n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得等比數(shù)列{a_n}公比為q，把a₂、a₃用a₁表示，求得a₂，進一步求出a₁，代入等比數(shù)列的前n項和得答案，
（2）根據求得的b_n=-n-1，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”即可得出，$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$=$\frac{25}{51}$，解得n的值．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}公比為q，
a₁=$\frac{2}{3}$，10a₂-3a₁=3a₃（n∈N^*），
∴10q=3+2q²，解得：q=$\frac{1}{3}$，q=3（舍去），
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}•$（$\frac{2}{3}$）^n-1=2•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
（2）等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n+1}]}{1-\frac{1}{3}}$=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
b_n=log₃（1-S_n+1）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n+1}$=-n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
若$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}b3}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$=$\frac{25}{51}$，
∴n=100．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．