Question

4．點P（-3，1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左準線上．過點P的直線l：5x+2y=13，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由點P（-3，1）則橢圓的左準線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上，即$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，由題意可知：過點P且與直線5x+2y=0平行的光線的方程為5x+2y+13=0上，將焦點坐標代入即可求得c和a的值，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點在x軸上，橢圓的左準線方程為：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，點P（-3，1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左準線上．
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，
∵點P且與直線5x+2y=13平行的光線經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓左焦點，
過點P且與直線5x+2y=0平行的光線的方程為5x+2y+13=0上，
∴5×（-c）+2×（-4）+12=0，解得：c=1，
∴a²=3，解得：a=$\sqrt{3}$，
故橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓標準方程及簡單幾何性質(zhì)的應用，直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．