Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{x-2}+lnx$，其中a∈R．
（Ⅰ）給出a的一個取值，使得曲線y=f（x）存在斜率為0的切線，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）存在極小值和極大值，證明：f（x）的極小值大于極大值．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0在定義域上有解即可；
（II）判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，再利用作差法計算極值的差即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0，且x≠2}，
f′（x）=-$\frac{a}{（x-2）^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-2）^{2}-ax}{x（x-2）^{2}}$．
令f′（x）=0得x²-（4+a）x+4=0．
若曲線y=f（x）存在斜率為0的切線，則方程x²-（4+a）x+4=0在定義域{x|x＞0，且x≠2}上有解，
不妨設x=1是方程x²-（4+a）x+4=0的解，則a=1．
∴當a=1時，曲線y=f（x）存在斜率為0的切線．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f′（x）=-$\frac{a}{（x-2）^{2}}$+$\frac{1}{x}$．
①當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在區(qū)間（0，2）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意．
②當a＞0時，令f′（x）=0，得x²-（4+a）x+4=0．
△=（4+a）²-16=a²+8a＞0，
∴方程必有兩個不相等的實數(shù)解x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂．
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，∴0＜x₁＜2＜x₂．
列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，2）	（2，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

∴f（x）存在極大值f（x₁），極小值f（x₂）．
f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{a}{{x}_{2}-2}$+lnx₂）-（$\frac{a}{{x}_{1}-2}$+lnx₁）=a（$\frac{1}{{x}_{2}-2}-\frac{1}{{x}_{1}-2}$）+（lnx₂-lnx₁）．
∵0＜x₁＜2＜x₂，且a＞0，
∴a（$\frac{1}{{x}_{2}-2}-\frac{1}{{x}_{1}-2}$）＞0，lnx₂-lnx₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）的極小值大于極大值．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，函數(shù)極值的計算，屬于中檔題．