Question

6．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且A＜B＜C，sinB=$\frac{4}{5}$，cos（2A+C）=-$\frac{4}{5}$，求：
（1）cos（A+C）的值．
（2）求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，以及角的范圍，和誘導(dǎo)公式即可求出；
（2）根據(jù)兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式以及角的范圍和同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）∵A＜B＜C，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
∴cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB=-$\frac{3}{5}$，
（2）∵cos（2A+C）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（2A+C）=$\frac{3}{5}$，或sin（2A+C）=-$\frac{3}{5}$，
∴-cosA=cos（π+A）=cos（A+B+C+A）=cos[（2A+C）+B]=cos（2A+C）cosB-sin（2A+C）sinB，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$
當(dāng)sin（2A+C）=$\frac{3}{5}$時(shí)，-cosA=-$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
即cosA=$\frac{24}{25}$，
∴sinA=$\frac{7}{25}$，
當(dāng)sin（2A+C）=-$\frac{3}{5}$時(shí)，-cosA=-$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=0，
即cosA=0
∴A=$\frac{π}{2}$（舍去），
故sinA=$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．