Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD．
（1）若M是A₁D的中點，求A₁B與平面CME所成角的正弦值；
（2）線段A₁B上是否存在點P，使平面PME與平面CME垂直，若存在，求$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}B}}$的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的坐標系，求出平面CME的法向量，利用向量方法求A₁B與平面CME所成角的正弦值；
（2）求出平面PME的法向量，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得結(jié)論．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標系，則C（0，0，0），M（0，1，$\sqrt{3}$），E（2，2，0），A₁（0，0，2$\sqrt{3}$），B（3，0，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（3，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（2，2，0），
設平面CME的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，-3，$\sqrt{3}$），
∴A₁B與平面CME所成角的正弦值=|$\frac{9-6}{\sqrt{9+12}•\sqrt{9+9+3}}$|=$\frac{1}{7}$；
（2）設$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，則P（3λ，0，2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{PM}$=（-3λ，1，-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-$\sqrt{3}$）
設平面PME的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}{-3λa+b+（-\sqrt{3}+2\sqrt{3}λ）c=0}\\{2a+b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$λ，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ，2+3λ），
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得λ=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}B}}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面角，考查平面與平面垂直的運用，考查向量方法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．