Question

14．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)均為2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，M，N分別為A₁C₁與B₁C的中點(diǎn)，且側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）證明：MN∥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）求三棱柱B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點(diǎn)P，連結(jié)PN，PM，從而PN∥AB₁，PM∥AA₁，從而平面PMN∥平面AB₁A₁，由此能證明MN∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）連結(jié)PB，過(guò)B₁作BO⊥平面ABC，推導(dǎo)出O是AB中點(diǎn)，由此能求出三棱柱B₁-ABC的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)P，連結(jié)PN，PM，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為A₁C₁與B₁C的中點(diǎn)，
∴PN∥AB₁，PM∥AA₁，
∵PM∩PN=P，AB₁∩AA=A，
PM，PN?平面PMN，AB₁，AA₁?平面AB₁A₁，
∴平面PMN∥平面AB₁A₁，
∵M(jìn)N?平面PMN，∴MN∥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）連結(jié)PB，過(guò)B₁作BO⊥平面ABC，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)均為2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，
M，N分別為A₁C₁與B₁C的中點(diǎn)，且側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC．
∴△ABB₁是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴O是AB中點(diǎn)，∴B₁O=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱B₁-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{B}_{1}O$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查三棱柱的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．