Question

某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計．

(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

 

Answer 1

（1）當(dāng)長為16.2米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 880元

（2）當(dāng)長為16米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 882元．

【解析】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米．

則總造價f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960

＝1 296(x＋)＋12 960

≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝10時取等號．

∴當(dāng)長為16.2米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 880元．

(2)由限制條件知，∴10≤x≤16，

設(shè)g(x)＝x＋(10≤x≤16)，

g(x)在上是增函數(shù)，

∴當(dāng)x＝10時（此時），

g(x)有最小值，即f(x)有最小值，

即為1 296×＋12 960＝38 882元．

∴當(dāng)長為16米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 882元．