Question

13．如圖，等腰△ABC的一條腰及底邊中線分別與圓O相交于點A，D和E、F，圓O的切線FG與CE相交于點G．
（I）證明：FG⊥CE；
（Ⅱ）若BA=4BD，BF=3BE，求FG：CE．

Answer 1

分析 （1）連結AE，則∠EFC=90°，∠EAF=∠EFG，∠EAF=∠ECF，從而∠ECF=∠EFG，由此能證明FG⊥CE．
（2）設BE=t，EF=2t，推導出EG=FG=$\sqrt{2}t$，AB=2$\sqrt{3}t$，CF=$\sqrt{3}t$，CE=$\sqrt{7}t$，由此能求出FG：CE的值．

解答 證明：（1）連結AE，∵等腰△ABC的一條腰及底邊中線分別與圓O相交于點A，D和E、F，圓O的切線FG與CE相交于點G，
∴∠EFC=90°，∠EAF=∠EFG，∠EAF=∠ECF，∴∠ECF=∠EFG，
∴∠ECF+∠CFG=∠CFG+∠EFG=90°，
∴FG⊥CE．
解：（2）設BD=k，則AD=3k，BC=4k，設BE=t，EF=2t，EG=FG=$\sqrt{2}t$，
∵BD•BA=BE•BF，∴4k²=3t²，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{2}t$，AB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}t$=2$\sqrt{3}t$，
$CF=\sqrt{（2\sqrt{3}t）^{2}-（3t）^{2}}$=$\sqrt{3}t$，∴CE=$\sqrt{（2t）^{2}+（\sqrt{3}t）^{2}}$=$\sqrt{7}t$，
∴FG：CE=$\sqrt{2}t：\sqrt{7}t$=$\sqrt{2}：\sqrt{7}$．

點評 本題考查兩線垂直的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相交弦定理、弦切角定理的合理運用．