Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），且f（x）=x有等根，f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x∈[-3，2]，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）得出對稱軸x=-2，f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（-4，0），可設(shè)設(shè)f（x）=ax（x+4），=ax²+4ax，再利用等根求解即可．
（2）對稱軸x=-2，-2∈[-3，2]，根據(jù)對稱性，單調(diào)性求解即可f（-2）=-1，f（-3）=-

3

4

，f（2）=3，

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），
∴對稱軸x=-2，
∵f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，
∴f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（-4，0），
∴設(shè)f（x）=ax（x+4），=ax²+4ax，
∵f（x）=xf（x）=x有等根，
∴ax²+（4a-1）x=0f（x）=x有等根．
即4a-1=0，a=

1

4

，
∴f（x）=

1

4

x²+x，
（2）∵對稱軸x=-2，-2∈[-3，2]，
∴f（-2）=-1，f（-3）=-

3

4

，f（2）=3，
∴函數(shù)f（x）的最大值3，最小值為-1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，圖象的交點(diǎn)問題，難度不大，知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．