Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的長半軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（2）直線y=kx+2與橢圓C交于A，B兩個不同點，點E（1，0）在以AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a，結(jié)合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用韋達定理得到A，B兩點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的和與積，把已知條件轉(zhuǎn)化為向量夾角為銳角，進一步代入坐標(biāo)運算求出k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得，a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$．
則b²=a²-c²=4-3=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，即$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．①
又點E（1，0）在以AB為直徑的圓的外部，∴∠AOB為銳角，即cos∠AEB＞0，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，即（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）+1=（1+k²）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5
=（1+k²）•$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+（2k-1）•（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+5
=$\frac{16k+17}{1+4{k}^{2}}＞0$，
∴k$＞-\frac{17}{16}$．②
綜①②可知$-\frac{17}{16}＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴k的取值范圍是$（-\frac{17}{16}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）∪（\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，注意等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用，是中檔題．