Question

4．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 把原函數(shù)解析式變形，化為關(guān)于x的方程，討論二次項(xiàng)系數(shù)后利用判別式法求函數(shù)的值域．

解答 解：由y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$，得（y-1）x²-（2y-1）x-（3y+6）=0．
當(dāng)y=1時(shí)，x=-9；
當(dāng)y≠1，由△=（2y-1）²+4（y-1）（3y+6）=16y²+8y-23≥0，
解得：$y≤-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$或$y≥-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}$且y≠1．
∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．
故答案為：（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域及其求法，訓(xùn)練了判別式法求函數(shù)的值域，是中檔題．