Question

7．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=a_n（n≥2，n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=（-1）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 由已知條件條件數(shù)列{a_n}為1，-1，1，1-1，…，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=a_n，則S_n≠0，
∴S_n²+1=a_nS_n，
∴S_n-1²+1=a_n-1S_n-1，
∴S_n²-S_n-1²=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_n（S_n+S_n-1）=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_nS_n+a_nS_n-1=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_nS_n-1=-a_n-1S_n-1，
∴a_n=-a_n-1，
∴a₂=-a₁=-1，
∴數(shù)列{a_n}為1，-1，1，1，-1，…
∴a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
故答案為：（-1）ⁿ⁺¹

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．