分析 (1)取BE中點(diǎn)H,連結(jié)DH,則可證四邊形ADHG為平行四邊形,從而得到AG∥DH,推出AG∥平面BDE;
(2)由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得$\overrightarrow{AB}$及平面BDE的一個(gè)法向量,由兩向量所成角的余弦值可得AB與平面BDE所成角的正弦值.
解答 (1)證明:過(guò)G作GF⊥CE交BE于H,連結(jié)DH,則四邊形BCFG是矩形,
∴CF=BG,則F是CE的中點(diǎn),H是FG的中點(diǎn),
∴HG=$\frac{1}{2}$BC,HG∥BC,
∵AD∥BC,AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴AD=HG,AD∥HG,則四邊形ADHG是平行四邊形,
∴AG∥DH,
∵DH?平面BDE,AG?平面BDE,
∴AG∥平面BDE;
(2)解:由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
∵BC=CD=CE=2,AD=BG=1,
∴D(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),A(2,1,0),
則$\overrightarrow{AB}=(-2,1,0)$,$\overrightarrow{DB}=(-2,2,0),\overrightarrow{DE}=(-2,0,2)$,
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{m}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{m}=(1,1,1)$,
∴AB與平面BDE所成角的正弦值sinθ=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-2×1+1×1}{\sqrt{(-2)^{2}+{1}^{2}}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,訓(xùn)練了利用空間向量求線面角,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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高中 | 本科 | 碩士 | 博士 | 合計(jì) | |
35歲以下 | 10 | 150 | 50 | 35 | 245 |
35~50歲 | 20 | 100 | 20 | 13 | 153 |
50歲以上 | 30 | 60 | 10 | 2 | 102 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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A. | (-∞,5] | B. | [10,+∞) | C. | (-∞,5]∪[10,+∞) | D. | ∅ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (2,$\sqrt{2}$+1) | B. | ($\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$+1) | C. | ($\sqrt{2}$,2) | D. | ($\sqrt{2}$,2)∪(2,$\sqrt{2}$+1) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | 1 | C. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D. | 2 |
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