18.如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2,AD=BG=1.
(1)證明:AG∥平面BDE;
(2)求AB與平面BDE所成角的正弦值.

分析 (1)取BE中點(diǎn)H,連結(jié)DH,則可證四邊形ADHG為平行四邊形,從而得到AG∥DH,推出AG∥平面BDE;
(2)由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得$\overrightarrow{AB}$及平面BDE的一個(gè)法向量,由兩向量所成角的余弦值可得AB與平面BDE所成角的正弦值.

解答 (1)證明:過(guò)G作GF⊥CE交BE于H,連結(jié)DH,則四邊形BCFG是矩形,
∴CF=BG,則F是CE的中點(diǎn),H是FG的中點(diǎn),
∴HG=$\frac{1}{2}$BC,HG∥BC,
∵AD∥BC,AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴AD=HG,AD∥HG,則四邊形ADHG是平行四邊形,
∴AG∥DH,
∵DH?平面BDE,AG?平面BDE,
∴AG∥平面BDE;
(2)解:由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
∵BC=CD=CE=2,AD=BG=1,
∴D(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),A(2,1,0),
則$\overrightarrow{AB}=(-2,1,0)$,$\overrightarrow{DB}=(-2,2,0),\overrightarrow{DE}=(-2,0,2)$,
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{m}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{m}=(1,1,1)$,
∴AB與平面BDE所成角的正弦值sinθ=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-2×1+1×1}{\sqrt{(-2)^{2}+{1}^{2}}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,訓(xùn)練了利用空間向量求線面角,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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35~50歲201002013153
50歲以上3060102102
隨機(jī)地抽取一人,求下列事件的概率.
(1)50歲以上具有本科或本科以上學(xué)位;     
(2)具有碩士學(xué)位.

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