Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點，且∠F₁PF₂=120°，則橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率的取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，
P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，
當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，
張角∠F₁PF₂達到最大值．
由此可得：∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=120°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥120°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥60°，
所以P₀O≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$OF₂，即b≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴a²-c²≤$\frac{1}{3}$c²，可得a²≤$\frac{4}{3}$c²，
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點評 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．