Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，試求f（x）的最值，并寫出取得最值時自變量x的取值．

Answer 1

分析 （1）通過湊角，把公式化簡，從而求單調(diào)區(qū)間；（2）整體思想求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．

解答 解：（1）由題意知，f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{3}）$=2sin$（2x+\frac{2π}{3}）$，
f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
當(dāng)-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
所以，f（x）的單增區(qū)間為[-$\frac{7π}{12}+kπ，-\frac{π}{12}+kπ]$，（k∈Z）．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，所以$\frac{π}{3}≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值2；
當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡及單調(diào)區(qū)間和最值的求法，運用了整體的思想，屬于中檔題．