Question

9．已知函數(shù)f（x）=x+2$\sqrt{x}$+1（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=4，a_n+1=f（a_n），數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…b_n-b_n-1是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（1）求a_n，b_n．
（2）記c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明T_n＜6．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法可求得a_n=（n+1）²；利用等比數(shù)列前n項和公式可得b_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1；
（2）利用放縮法可得c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{（n+1）^{2}}$＜6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=4，
當(dāng)n=2時，a₂=f（a₁）=a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$+1=9，
假設(shè)a_n=（n+1）²，
a_n+1=f（a_n）=a_n+2$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1
=（n+1）²+2（n+1）+1=（n+2）²，
故a_n=（n+1）²；
∵數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…b_n-b_n-1是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1；
（2）證明：∵c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{（n+1）^{2}}$＜6$\frac{1}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
＜6（1-$\frac{1}{2}$）+6（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+6（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=6（1-$\frac{1}{n+1}$）＜6．

點評 本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用及等比數(shù)列的應(yīng)用，同時考查了放縮法的應(yīng)用．