【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立；

（Ⅲ）若正實(shí)數(shù)滿足，證明.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，從而可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，將恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）將代數(shù)式放縮，構(gòu)造關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可．

試題解析：（Ⅰ） ，

由，得，

又，所以.

所以的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間是.

（Ⅱ）令 ，

所以 .

因?yàn)?/span>，

所以.

令，得.

所以當(dāng)，；

當(dāng)時(shí)，.

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為

.

令，因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>在是減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，

即對(duì)于任意正數(shù)總有.

所以關(guān)于的不等式恒成立.

（Ⅲ）由，

即 ，

從而 .

令，則由得，.

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以，

所以，

又，

因此成立.

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①和有一個(gè)相同的實(shí)根；

②和有一個(gè)相同的實(shí)根；

③的任一實(shí)根大于的任一實(shí)根；

④的任一實(shí)根小于的任一實(shí)根．

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域．

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（2）猜想{an}通項(xiàng)公式并加以證明．

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（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若對(duì)于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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A.y=3x﹣2
B.y= x+
C.y=3x﹣2或y= x+
D.y=3x﹣2或y= x﹣

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