Question

某旅館有相同標(biāo)準(zhǔn)的床鋪100張，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)旅館的床價(jià)（即每床每天的租金）不超過10元時(shí)，床位可以全部租出，當(dāng)床價(jià)高于10元，每提高1元，將有3張床空置．旅館定價(jià)條件是：（1）床價(jià)為1元的整數(shù)倍；（2）該旅館每天支出為575元，床位出租收入必須高于支出．若用x表示床價(jià)，y表示每天出租床位的凈收入（即除去每天支出后的收入）．
①把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域；
②如何定價(jià)，該旅館每天凈收入最多？

Answer 1

分析：①分價(jià)格不高與10元和高于10元兩種情況分析，當(dāng)不高于10元時(shí)，有100x＞575，即當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=100x-575；當(dāng)高于10元時(shí)有x[100-3（x-10）]＞575和x∈N*，即當(dāng)10＜x≤38時(shí)，y=x[100-3（x-10）]-575=-3x²+130x-575．
②由①知函數(shù)是分段函數(shù)，所以每一段取得取大值，從中取最大的作為函數(shù)的最大值，同時(shí)也就明確了最大時(shí)的定價(jià)．

解答：解：①依題意x∈N*，100x＞575，
所以x≥6，當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=100x-575；x＞10時(shí)，
由x[100-3（x-10）]＞575和x∈N*，
解得x≤38，當(dāng)10＜x≤38時(shí)，y=x[100-3（x-10）]-575=-3x²+130x-575．
綜上所述，y=f(x)=

100x-575，x∈N*，6≤x≤10 -3x2+130x-575，x∈N*，10＜x≤38.

．
②二次函數(shù)y=-3x²+130x-575的對(duì)稱軸x=-

130

2×(-3)

=

65

3

，
因?yàn)閤∈N*，直接計(jì)算知f（10）=425，f（21）=832，f（22）=833，
比較得：每床每天的租金為22元時(shí)，該旅館每天凈收入最多．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，還考查了分段函數(shù)求最值，方法是每一段求得最大值，再從中取最大的作為函數(shù)的最大值，同時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號(hào)化．