Question

某旅館有相同標準的床鋪100張，根據經驗，當旅館的床價（即每床每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出，當床價高于10元，每提高1元，將有3張床空置．旅館定價條件是：（1）床價為1元的整數(shù)倍；（2）該旅館每天支出為575元，床位出租收入必須高于支出．若用x表示床價，y表示每天出租床位的凈收入（即除去每天支出后的收入）．
①把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域；
②如何定價，該旅館每天凈收入最多？

Answer 1

【答案】分析：①分價格不高與10元和高于10元兩種情況分析，當不高于10元時，有100x＞575，即當6≤x≤10時，y=100x-575；當高于10元時有x[100-3（x-10）]＞575和x∈N*，即當10＜x≤38時，y=x[100-3（x-10）]-575=-3x²+130x-575．
②由①知函數(shù)是分段函數(shù)，所以每一段取得取大值，從中取最大的作為函數(shù)的最大值，同時也就明確了最大時的定價．
解答：解：①依題意x∈N*，100x＞575，
所以x≥6，當6≤x≤10時，y=100x-575；x＞10時，
由x[100-3（x-10）]＞575和x∈N*，
解得x≤38，當10＜x≤38時，y=x[100-3（x-10）]-575=-3x²+130x-575．
綜上所述，．
②二次函數(shù)y=-3x²+130x-575的對稱軸，
因為x∈N*，直接計算知f（10）=425，f（21）=832，f（22）=833，
比較得：每床每天的租金為22元時，該旅館每天凈收入最多．
點評：本題主要考查分段函數(shù)模型的建立和應用，還考查了分段函數(shù)求最值，方法是每一段求得最大值，再從中取最大的作為函數(shù)的最大值，同時，確定函數(shù)關系實質就是將文字語言轉化為數(shù)學符號語言--數(shù)學化，再用數(shù)學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．