Question

5．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明“空間中n個(gè)平面，最多將空間分成$\frac{{{n^3}+5n+6}}{6}$個(gè)區(qū)域”，過程中由n=k到n=k+1時(shí)，應(yīng)證明區(qū)域個(gè)數(shù)增加了（　�。�

• A． $\frac{{{k^2}+k+2}}{2}$
• B． k²+k+2
• C． $\frac{{{k^2}+k}}{6}$
• D． $\frac{{{k^2}+1}}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)空間平面知識(shí)得到再添上第k+1個(gè)平面，因?yàn)樗�和前k個(gè)平面都相交，所以可得k條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任3條直線不共點(diǎn)，這k條交線可以把第k+1個(gè)平面劃最多分成$\frac{1}{2}$[（k+1）²-（k+1）+2]=$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$個(gè)部分，問題得以解決．

解答 解：當(dāng)n=k時(shí)，a_k=$\frac{{k}^{3}+5k+6}{6}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，再添上第k+1個(gè)平面，因?yàn)樗�和前k個(gè)平面都相交，所以可得k條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任3條直線不共點(diǎn)，這k條交線可以把第k+1個(gè)平面劃最多分成$\frac{1}{2}$[（k+1）²-（k+1）+2]=$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$個(gè)部分，每個(gè)部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域．因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$個(gè)個(gè)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．