Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x（x-ae^x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （1，3）
• C． （$\frac{1}{2}$，3）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)數(shù)f′（x）=0有兩不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，結(jié)合圖象即可得出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（x-ae^x），
∴f′（x）=（x+1-2a•e^x）e^x，
由于函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩不等實(shí)根，
即方程x+1-2ae^x=0，且a≠0，
∴$\frac{x+1}{2a}$=e^x；
設(shè)y₁=$\frac{x+1}{2a}$（a≠0），y₂=e^x，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示；

要使這兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＞0}\\{\frac{1}{2a}＞1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
所以a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．