Question

9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)M為橢圓上一動點(diǎn)，△F₁MF₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A₁，過右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)A₁A，A₁B并延長交直線x=4分別于P、Q兩點(diǎn)，問$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)c=t，（t＞0）．則a=2t，b=$\sqrt{3}t$，由△F₁PF₂面積取最大值$\sqrt{3}$，求出t=1，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線方程、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$為定值0．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)c=t（t＞0）．則a=2t，b=$\sqrt{3}t$，
又△F₁PF₂面積取最大值$\sqrt{3}$時，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)，
∴$\frac{1}{2}×2t×\sqrt{3}t$=$\sqrt{3}$，解得t=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6t}{3+4{t}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3+4{t}^{2}}$，
直線AA₁的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-（-2）}（x-（-2））$，
直線BA₁的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-（-2）}（x-（-2））$，
∴P（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），Q（4，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（3，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=（3，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}•\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=9+（$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$）（$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$）=$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}+9=0$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$為定值0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、直線方程、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．