Question

19．函數(shù)f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意x∈[1，+∞）時(shí)，x-2k∈[1-2k，+∞）；討論①1-2k≤0時(shí)和②1-2k＞0時(shí)，存在x∈[1，+∞），使f（x-2k）-k＜0時(shí)k的取值范圍即可．

解答 解：根據(jù)題意，x∈[1，+∞）時(shí)，x-2k∈[1-2k，+∞）；
①當(dāng)1-2k≤0時(shí)，解得k≥$\frac{1}{2}$；存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，
即只要f（1-2k）-k＜0即可；
∵1-2k≤0，∴f（1-2k）=-（1-2k）²，
∴-（1-2k）²-k＜0，整理得-1+4k-4k²-k＜0，即4k²-3k+1＞0；
∵△=（-3）²-16=-7＜0，
∴不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，∴k≥$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)1-2k＞0時(shí)，解得k＜$\frac{1}{2}$；
存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，
即只要f（1-2k）-k＜0即可；
∵1-2k＞0，∴f（1-2k）=（1-2k）²，
∴（1-2k）²-k＜0，整理得4k²-5k+1＜0，解得$\frac{1}{4}$＜k＜1；
又∵k＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{4}$＜k＜$\frac{1}{2}$；
綜上，k∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）=（$\frac{1}{4}$+∞）；
∴k的取值范圍是k∈（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是難題．