Question

13．一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A到F所需時間為T．
（1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域；
（2）求時間T最短時θ的值．

Answer 1

分析 （1）通過過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，利用OG=1、OF=$\frac{1}{sinθ}$、EF=1+$\frac{1}{sinθ}$、AE=θ及時間、路程與速度之間的關(guān)系即得結(jié)論；
（2）通過（1）求導(dǎo)可知T′（θ）=-$\frac{（2cosθ+3）（3cosθ-2）}{30vsi{n}^{2}θ}$，進(jìn)而集合函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，則OG=1，
OF=$\frac{OG}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθ}$，EF=1+$\frac{1}{sinθ}$，AE=θ，
∴T（θ）=$\frac{AE}{5v}$+$\frac{EF}{6v}$=$\frac{θ}{5v}$+$\frac{1}{6vsinθ}$+$\frac{1}{6v}$，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]；
（2）由（1）可知T′（θ）=$\frac{1}{5v}$-$\frac{cosθ}{6vsi{n}^{2}θ}$=$\frac{6si{n}^{2}θ-5cosθ}{30vsi{n}^{2}θ}$=-$\frac{（2cosθ+3）（3cosθ-2）}{30vsi{n}^{2}θ}$，
記cosθ₀=$\frac{2}{3}$，由θ₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]可知：
當(dāng)θ∈（$\frac{π}{4}$，θ₀）時T′（θ）＜0，即T（θ）在區(qū)間（$\frac{π}{4}$，θ₀）上單調(diào)遞減，
當(dāng)θ∈（θ₀，$\frac{3π}{4}$）時T′（θ）＞0，即T（θ）在區(qū)間（θ₀，$\frac{3π}{4}$）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)cosθ=$\frac{2}{3}$時時間T最短．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．